El templo de Miut

El papiro secreto

Un solo motivo · muchas reglas · escribe un número y mira

Los criterios de divisibilidad se aprenden como trucos sueltos y no lo son: casi todos salen de la misma pregunta, qué resto deja 10 —o 100, o 1000— al dividir entre el número que te interesa. Aquí cada regla es una máquina: escribe un número y observa qué cifras coge.

1 · Los que solo miran el final

10 es múltiplo de 2 y de 5; 100 lo es de 4 y de 25; 1000, de 8. Todo lo que hay por delante de las últimas cifras ya es múltiplo y no puede estorbar: las demás cifras se apagan.

2 · La idea que vale para todos: los pesos

Un número es sus cifras multiplicadas por 1, por 10, por 100, por 1000… Al dividir entre m, cada uno de esos multiplicadores deja un resto: ese es el peso de la posición. Y el número entero deja el mismo resto que la suma de cifra × peso. Elige un divisor y mira los pesos encima de cada cifra.

Con el 3 y el 9 todos los pesos son 1: por eso basta sumar las cifras. Con el 11 alternan +1 y −1, y da igual leer desde un lado que desde el otro (solo cambia el signo del total). Con el 7 y el 13 los pesos se repiten cada seis, y el peso de tres posiciones más allá es el mismo con el signo cambiado: guarda ese detalle.

3 · Elefanti: un solo gesto para 7, 11 y 13

Ese detalle es todo el método que publicó Francis Elefanti en 1860. Como 1000 pesa −1 para el 7, el 11 y el 13 (porque 1001 = 7 · 11 · 13), una cifra vale lo mismo que su contraria tres posiciones a la derecha. Así que se puede quitar la primera cifra y restarla tres casillas más allá, y el resto no cambia. Se repite hasta que quedan tres cifras.

4 · Y lo mismo para cualquier primo

Elefanti dio reglas para todos los primos hasta el 107, con letras que hoy cuesta leer. Pero todas salen del mismo molde: buscar un número de la forma 10^s ± k que sea múltiplo del primo. Entonces se quita la primera cifra y, s casillas a la derecha, se le resta o se le suma k veces esa cifra. Aquí están, ya traducidas, y cada una se puede probar en la máquina de arriba:

5 · De propina: por qué se multiplican los divisores

Si dos números no comparten nada, los divisores de su producto salen de multiplicar los de uno por los de otro, todos con todos. Por eso el número de divisores se multiplica: el 60 tiene 12 porque el 4 tiene 3 y el 15 tiene 4. Weissman lo dibuja como una tabla, y así se ve que no falta ni sobra ninguno. Cambia los números y prueba con dos que sí compartan algo.

F. Elefanti, «Problem on the Divisibility of Numbers», Proc. R. Soc. Lond. 10 (1860), 208–214.