Cuerpos y volúmenes · codos y palmos
Tres cosas se afirman en las salas sin demostrarse allí. Aquí se apunta cada una, se explica por qué es verdad y se dice dónde se demuestra del todo. Saber qué está demostrado y qué no es parte del oficio.
Piense la pirámide como un montón de láminas finísimas, una por cada altura. Si empuja el montón de lado para que la punta pase de la esquina al centro, cada lámina se corre, pero ninguna cambia de tamaño: son las mismas láminas, en el mismo orden. Mismo montón, misma piedra.
Lo que hay que comprobar es que a cada altura las dos pirámides tienen la misma lámina, y eso lo da la semejanza: a la altura z, la lámina es la base encogida en la misma proporción en las dos. Esto se llama principio de Cavalieri, y su gabinete —siglo XVII, en la línea del tiempo— existe para demostrarlo con calma. Aquí se usa; allí se prueba.
Es el problema 48 del papiro Rhind, y no es magia. El escriba dibuja un cuadrado de 9 × 9 alrededor del círculo de diámetro 9 y le corta las cuatro esquinas por la mitad de cada lado: queda un octógono que se parece mucho al círculo. Su área es 81 menos cuatro triángulos de 3 × 3 ÷ 2, es decir, 81 − 18 = 63.
Y 63 está a un paso de 64, que es 8 × 8. Así que el círculo de diámetro 9 «vale» un cuadrado de lado 8: ocho novenos. No es una demostración, es una aproximación bien elegida; y el granero mide cuánto se pasa: menos de un uno por ciento.
El volumen es contar cubos. Si la caja se estira al doble de alto, cada cubo se vuelve dos cubos: todo lo que hay dentro se multiplica por dos, las tres piezas incluidas. Como las tres eran iguales antes de estirar, siguen siéndolo después.
Con un estirón de una vez y media, o de cualquier otro número, es lo mismo partiendo el cubo en trozos más finos, como los medios codos del patio. Wu lo llama escalar en una dirección: multiplica todos los volúmenes por lo mismo, y por eso conserva las proporciones entre ellos.