Potencias y raíces · el castillo
Tres cosas de esta corte no son cuentas de segundo. Una es una definición y se dice por qué se elige; otra es un teorema con demostración corta, y está entera para quien la quiera; la tercera es verdad y se demuestra en otro sitio.
No se calculan: se definen. La única regla que había era «un exponente más es multiplicar otra vez por la base», y hacia atrás dice «un exponente menos es dividir entre la base». Si se sigue hacia atrás desde a¹ = a, sale a⁰ = a ÷ a = 1, y luego a⁻¹ = 1 ÷ a. Se definen así para que la regla no se rompa en el cero. Es la única definición razonable, y por eso parece que se calcula.
En el árbol se ve: el nivel cero es el tronco solo, una hoja. El recuento de Jefén Giskan lo dijo para el diez; aquí es para cualquier base, y la razón es la misma.
En el aljibe con área dos no cuadra nunca, y no es por falta de decimales. Es un teorema, y de los más viejos. La demostración entera, en ocho líneas, para quien la quiera leer:
Supongamos que √2 fuera una fracción p/q, ya simplificada del todo. Entonces p² = 2q². Así que p² es par. Un número impar al cuadrado da impar, así que p es par: p = 2k. Entonces p² = 4k², y 4k² = 2q², así que q² = 2k². Así que q² es par, y q es par. Pero entonces p y q son los dos pares, y la fracción no estaba simplificada. Contradicción: √2 no es ninguna fracción.
Lo que la app hace con esto: dejar que el aljibe no cuadre, decir que no es culpa de nadie, y dar el nombre. Los números que no son fracción se llaman irracionales, y éste fue el primero.
En la gráfica del tesorero se ve: sumando mil por casilla, el doble pasa por delante en la casilla catorce y ya no lo alcanzan. Con un millón, en la veinticinco. Con lo que sea, hay una casilla. Que siempre hay una casilla, para cualquier cantidad que se sume, es verdad y se demuestra por inducción: se comprueba que a partir de cierta casilla el doble crece más que la suma, y que si va por delante en una sigue por delante en la siguiente. La inducción no es de segundo. Se dice que hay demostración y dónde.
Un grano en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, y así hasta la última.
Lo que pidió Sissa ibn Dahir, según se cuenta, por haber inventado el ajedrez.
La leyenda de verdad es india y la trajeron los árabes. Un sabio, Sissa, inventa el juego del ajedrez para un rey que se aburre, y el rey le dice que pida lo que quiera. Sissa pide trigo: un grano en la primera casilla, el doble en la siguiente, y así hasta la sesenta y cuatro. El rey se ríe de lo poco que pide. El tesorero tarda días en hacer la cuenta y vuelve con la cara blanca: no hay trigo en el reino, ni en el mundo, para pagar eso.
La cuenta la escribió con todas sus cifras Ibn Jallikán, en árabe, en 1256, en un diccionario de biografías: dos elevado a sesenta y cuatro menos uno, que son granos. Este número tiene veinte cifras y se escribe aquí entero, porque abreviarlo sería hacerle trampa al rey.
A unos cincuenta miligramos el grano, el tablero pesa unas novecientas mil millones de toneladas de trigo. El mundo entero cosecha unas ochocientas millones al año. Harían falta más de mil años de cosechas, sin comer ninguna. Eso es lo que quiere decir «no cabe en el reino».
Esta sala se ha abierto porque alguien ha tocado la casilla sesenta y cuatro con su trigo, o ha escrito el nombre del sabio. No sale en el índice.
Para el aula y para cada aparato
Lo hecho en esta sesión, para copiar y pegar donde haga falta